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标题 2013中考数学备考：求代数式最值
内容
    
    
    求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。
    一. 配方法
    例1. 设a、b为实数，那么的最小值是___________。
    解：
    
    
    因为，
    
    所以当且
    即且时，式子的值最小，最小值为－1。
    二. 计算法
    例2. 已知：，，，则
    的最小值为（ ）
    A. B.
    C. D.
    解：由
    解得
    因为
    
    所以只要最小，就最小，通过计算当，；或时最小，最小值为
    所以的最小值为
    
    故选B
    注：也可把a、b、c的值直接代入通过计算并比较，从而求出其最小值。
    三. 消元法
    例3. 已知：，则的最大值是___________，最小值是_________。
    解：由得
    所以
    所以
    所以
    
    
    所以当时，的最大值为；当时，的最小值为－2。
    四. 构造法
    例4. 求的最大值。
    解：原式可变形为
    
    其中
    可以看成是以，为直角边的直角三角形的斜边长，可以看成是以，为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。
    
    图1
    当C点与D点不重合时，即时，在中有
    
    即
    当C点与D点重合时，即时
    
    所以当时即时y取最大值。
    五. 坐标法
    例5. 已知：，求：的最小值。
    解：如图2，建立直角坐标系，的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。
    
    图2
    设P（x，y）是直线上的一动点，由勾股定理知表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当时，最小。
    作，垂足为C。
    因为
    所以
    所以的最小值为。
    六. 换元法
    例6. 求的最大值。
    解：因为，所以
    则可设
    所以
    
    所以当，即时，有最大值1。
    七. 利用基本不等式法
    例7. 若，那么代数式的最小值是_____________。
    解：当时
    因为
    所以
    即
    因为
    所以
    所以的最小值为1。
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更新时间：2025/6/12 15:23:58