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2012中考数学热点知识归纳 88

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    “六招”搞定分式方程的检验
    湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞

    先看两道解分式方程的题目：
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    (1)；(2)。
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    解：(1)方程两边同乘以，得﹒解得x=3﹒
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    (2)方程两边同乘以，得﹒解得
    x=0﹒
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    方程(1)中未知数的取值范围是，方程(2)中未知数的取值范围是﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程
    (1)的解x=3﹒
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    由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因﹒
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    虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢？下面向你介绍六招：
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    第一招?代入验根法
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    将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根．
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    例1?方程的解为＿＿．
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    解：方程两边同乘以，得﹒解得﹒
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    检验：把代入原方程，得左边==，右边==，
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    左边=右边，∴原方程的解．
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    点评：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确．
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    第二招?比较检验法
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    令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒
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    例2?解方程
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    解：方程两边同乘以，得﹒
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    解得．
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    检验：令=0，得；令=0，得
    ．
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    比较，得是原方程的根﹒
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    点评：比较检验法适合所得根比较复杂的题型．
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    第三招?公分母检验法
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    把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒
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    例3　解方程．
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    解：方程两边同乘以，得．解得．
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    把代入
    ，得=1≠0，
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    ∴是原方程的根．
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    点评：公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用﹒
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    第四招?无需检验法
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    虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根﹒
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    例4　解分式方程，可知方程(　)
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    A．解为　　B．解为
    　　C．解为　　D．无解
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    解：原方程即，
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    ，，即1=8．∴原分式方程无解．答案选D．
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    点评：本题若按常规方法会产生增根．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设，则
    ﹒原方程可化为﹒即﹒0=-2．∴原方程无解﹒
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    第五招?根据取值范围检验
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    例5?已知x为实数，且，那么
    的值为(　)
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    A．1　　B．-3或1　　C．3　　D．-1或3
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    解：设，原方程变形为．
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    即
    ．解得，．
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    经检验，，都是原方程的根．
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    但，∴．
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    而不满足，满足．
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    ∴是原方程的根，故应选A．
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    点评：本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．
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    第六招?根据题意检验
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    例6　 A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？
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    解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道千米．
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    根据题意，得．
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    方程两边同乘，得．
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    整理，得．解得x=-2或x=3．
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    经检验，x=-2或x=3都是原方程的根．由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3．
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    点评：解分式方程应用题要注意进行“双重”检验：不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义．

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