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| 标题 | 2015荆门高三元月调考理科数学试题及答案 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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出国留学网高考频道为您提供最及时的资讯，下面的2015荆门高三元月调考理科数学试题及答案希望对您有所帮助 绝 密 ★ 启用前 荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试 数 学（理） 本试卷共4页，21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合 ，则 A． B． C． D． 2．下列命题中，真命题是 A． ，使得 B． C． D． 是 的充分不必要条件 3．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 4．对于函数 若 ，则函数 在区间 内 A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至多有一个零点 5．设 , 对于使 成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做 的上确界. 若 ，且 ，则 的上确界为 A． B． C． D． 6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 7．点 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是 A． B． C． D． 8. 在直角坐标平面上， , 且 与 在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为 A． B． C． 或 D． 9．对于一个有限数列 ， 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为 ，其中 ．若一个99项的数列（ 的蔡查罗和为1000，那么100项数列 的蔡查罗和为 A．991 B．992 C．993 D．999 10．设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若 ， ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 11．已知函数 ，若 ，则 ▲ ． 12．由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为 ▲ ． 13．若函数 在其定义域内的一个子区间 内存在极值，则实数 的取值范围 ▲ ． 14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果 的力能使弹簧伸长 ，则把弹簧从平衡位置拉长 （在弹性限度内）时所做的功为 ▲ （单位：焦耳）. 15．已知：对于给定的 及映射 ，若集合 ，且 中所有元素在B中对应的元素之和大于或等于 ，则称 为集合 的好子集． ①对于 ，映射 ，那么集合 的所有好子集的个数为 ▲ ； ②对于给定的 ， ，映射 的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 1 1 1 1 y z 若当且仅当 中含有 和至少 中3个整数或者 中至少含有 中5个整数时， 为集合 的好子集，则所有满足条件的数组 为 ▲ ． 三 、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知向量 ，设函数 ． （Ⅰ）求 在区间 上的零点； （Ⅱ）在△ 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列 满足： ，且 是 的等差中项. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令 ， … ，求使 成立的正整数 的最小值． 18．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， , 点 是 的中点， ，且交 于点 ． （Ⅰ）求证: 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 ⊥平面 ； （Ⅲ）求二面角 的余弦值． 19．（本小题满分12分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是 （单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位:万元）随投资收益 （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （Ⅰ）若建立函数模型 制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件； （Ⅱ）现有两个奖励函数模型： ； ．试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 20．（本小题满分13分） 如图，已知圆E: ，点 ，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q． （Ⅰ）求动点Q的轨迹 的方程； （Ⅱ）设直线 与(Ⅰ)中轨迹 相交于 两点, 直线 的斜率分别为 (其中 )．△ 的面积为 , 以 为直径的圆的面积分别为 ．若 恰好构成等比数列, 求 的取值范围． 21．(本小题满分14分) 设函数 ， ． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求满足条件的最大整数 ； （Ⅲ）如果对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围． 荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试 数学(理)参考答案及评分标准 一、选择题：（每小题5分，10小题共50分） 1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7.B 8. C 9. D 10. A 二、填空题（每小题5分，5小题共25分） 11． ； 12． ； 13． ； 14． ； 15．①5，② . 三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 16．因为 ，函数 ． 所以 ………………………2分 ………………………4分 （Ⅰ）由 ，得 ． ，或 ，或 ………………………6分 又 ， 或 ． 所以 在区间 上的零点是 和 ． ………………………8分 （Ⅱ）在△ 中， ，所以 ． 由 且 ，得 从而 ……………10分 ， ． ………………12分 17. （Ⅰ）设等比数列 的首项为 ，公比为 依题意，有 ，代入 ，可得 ，………2分 ， 解之得 或 …………4分 当 时， ； 当 时， ． 数列 的通项公式为 或 ． …………………6分 (Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的， ， ， ③ ………………………8分 ④ 由③－④，得 ………………………10分 即 ，即 易知：当 时， ，当 时， 故使 成立的正整数 的最小值为5. ……………………12分 18.(选修2一1第109页例4改编) 方法一：（Ⅰ）证明：连结 交 于 ，连结 ． 是正方形，∴ 是 的中点． 是 的中点，∴ 是△ 的中位线． ∴ ． ………………………2分 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． ………………………4分 （Ⅱ）证明：由条件有 ∴ 平面 ，且 平面 ∴ 又∵ 是 的中点，∴ ∴ 平面 平面 ∴ ……………6分 由已知 ∴ 平面 又 平面 ∴平面 平面 ……………………8分 （Ⅲ）取 中点 ，则 ．作 于 ，连结 ． ∵ 底面 ，∴ 底面 ． ∴ 为 在平面 内的射影． ∵ ,∴ ． ∴ 为二面角 的平面角． ………………………10分 设 ，在 中， ， ∴ ． ∴ 二面角 的余弦的大小为 ． ………………………12分 方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，由 ,可设 ，则 ． ， ， ,即有 …6分 又 且 ． 平面 ． 又 平面 ∴平面 ⊥平面 ． ………………………8分 （Ⅲ） 底面 ，∴ 是平面 的一个法向量， ． 设平面 的法向量为 , , 则 即 , ∴ 令 ,则 ． ……………………10分 , 由作图可知二面角 为锐二面角 ∴二面角 的余弦值为 ． ………………………12分 19．（本小题满分12分）(必修一第127页例2改编) （Ⅰ）设奖励函数模型为 ，则该函数模型满足的条件是： ①当 时， 是增函数； ②当 时， 恒成立； ③当 时， 恒成立． ………………………5分 （Ⅱ）（1）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件①； 但当 时， ，因此，当 时， ，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求． ………………………7分 （2）对于函数模型 ，它在 上是增函数．满足条件① 时 ，即 恒成立．满足条件②…9分 设 ，则 ，又 ，所以 在 上是递减的，因此 ，即 恒成立．满足条件③ 故该函数模型符合公司要求 综上所述，函数模型 符合公司要求． ………………………12分 20．(选修2一1第49页习题第7题改编) （Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4 ， 故动点Q的轨迹 是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分 设其方程为 ，可知 ， ，则 ，……3分 所以点Q的轨迹 的方程为 ． ………………………4分 (Ⅱ)设直线 的方程为 ， ， 由 可得 ， 由韦达定理有： 且 ………………………6分 ∵ 构成等比数列， = ，即： 由韦达定理代入化简得： ．∵ ， ． ………………………8分 此时 ，即 ．又由 三点不共线得 从而 ． 故 ……………………………………10分 ∵ 则 为定值． ……………………12分 当且仅当 时等号成立． 综上： 的取值范围是 ． ……………………13分 21. (Ⅰ) , 定义域（0， ） ……………………1分 ①当 时， ，函数 在 上单调递增, …………………2分 ②当 时， ，函数 的单调递增区间为 . ，函数 的单调递减区间为 . …………4分 (Ⅱ)存在 ，使得 成立, 等价于 . ……………………5分 考察 0 3 + 0 - 0 + 递增 递减 递增 15 ……………7分 由上表可知 ， ， 所以满足条件的最大整数 ． ……………………9分 （Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）可知， 在 上是减函数， 在 上增函数，而 的最大值是1. ……………………………………10分 要满足条件，则只需当 时， 恒成立, 等价于 恒成立, 记 ， ， .…………11分 当 时, 即函数 在区间 上递增， 当 时, 即函数 在区间 上递减， 取到极大值也是最大值 ． ………………………13分 所以 . ……………………14分 另解:设 ， 由于 ， 所以 在 上递减，又 当 时， 时 ， 即函数 在区间 上递增，在区间 上递减， ……………13分 所以 ，所以 . ………………………14分 点击下载：湖北省荆门市2015年高三元月调考理科数学试卷 出国留学网高考频道为您整理史上高考复习资料大全！让您的高考成绩稳步上升！
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