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标题 高三上册数学期中试卷及答案精选
内容
    数学是一门很重要的学科，即将参加高考的同学们已经做好准备上战场了吗?下面出国留学网小编整理了高三上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。
    高三上册数学期中试卷及答案精选(一)
    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
    1、设集合 ，集合 ，则 等于( )
    A. (1,2) B. (1,2] C. [1,2) D. [1,2]
    2、已知 和 ，若 ，则 ( )
    A.5 B.8 　　　 C. 　　　 D.64
    3、等比数列 的各项为正数，且 ( )
    A.12 　 B.10 　　 C.8 　　　 D.2+
    4、如图1，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，
    则 的值为( )
    A. B. C. D.
    5、将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则 的最小值是( )
    A. 　　 B. 　　 C. 　　　 D.
    6、已知定义域为R的函数 不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
    A. B.
    C. D.
    7、下列四个结论：①设a，b为向量，若|a?b|=|a||b|，则a∥b恒成立;
    ②命题“若 ”的逆命题为“若 ”;
    ③“命题 为真”是“命题 为真”的充分 不必要条件;
    其中正确结论的个数是( )
    A.1个 　B.2个 　 C.3个 D.0个
    8、对于函数 ，部分 与 的对应关系如下表：
    1 2 3 4 5 6
    2 4 7 5 1 8
    数列 满足： ，且对于任意 ，点 都在函数 的图像上，则 ( )
    A.4054 　 B.5046 C.5075 　　D.6047
    9、设函数 的图像在点 处切线的斜率为 ，则函数
    的部分图像为( )
    10、已知向量 , 满足 ，且关于 的函数
    在实数集 上单调递增，则向量 , 的夹角的取值范围是 (　 )
    A. B. C. D.
    11、如图2是函数 图像的一部分，对不同的
    ，若 ，有 ，则( )
    A. 在 上是增函数
    B. 在 上是减函数
    C. 在 上是增函数
    D. 在 上是减函数
    12、若关于 的不等式 的解集恰好是 ，则 的值为( )
    A. 　 　B. 　 C. 　　 D.
    二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置上。
    13、若 是纯虚数，则 的值为 。
    14、若幂函数 过点 ，则满足不等式 的实数 的取值范围是 。
    15、函数 的图象与 轴所围成的封闭图形面积为 。
    16、已知函数 是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数 满足： ， ， ， ，考查下列结论： ① ;② 为奇函数;③数列 为等差数列;④数列 为等比数列。
    以上命题正确的是 。
    三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
    17、(本小题10分)
    设 ：关于x的不等式 的解集是 ; ：函数y= 的定义域为R.若 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取 值范围.
    18、(本小题12分)
    已知向量 ，向量 ，函数
    (Ⅰ)求 的最小正周期 ;
    (Ⅱ)已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， 为锐角， ， ，且 恰是 在 上的最大值，求 ， .
    19、(本小题12分)
    已知数列 与 满足： ， 且 ， .
    (Ⅰ)求 的值;
    (Ⅱ)令 ， ，证明： 是等比数列;
    20、(本小题12分)
    罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间 的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用 为y万元.
    (1)试写出y关于x的函数关系式;
    (2)当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小?
    21、(本小题12分)
    在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，
    (Ⅰ)求 的面积.
    (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，
    求{ }的前n项 和Sn.
    22、(本小题12分)
    已知函数 ， ，令 ，
    其中 是函数 的导函数。
    (Ⅰ)当 时，求 的极值;
    (Ⅱ)当 时，若存在 ，使得
    恒成立，求 的取值范围.
    参考答案
    题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    答案 B A B C D C A D B C A D
    一、选择题：(每小题5分，共60分)
    二、填空题：(每小题5分，共20分)
    13、 14、
    15、 16、 ②③④
    三、解答题：(本大题共6小题，共70分)
    高三上册数学期中试卷及答案精选(二)
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
    1.若集合 , ,则 ( )
    A. B. C. D.
    2.已知复数 ,若 是实数，则实数 的值为 ( )
    A. B. C. D.
    3.若定义在 上的函数 满足 且 则 等于 ( )
    A. 1 B. C.2 D.
    4. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
    ① ，② ，
    ③ ， ④ ，则输出的函数是 ( 　 )
    A. B.
    C. D.
    5.以下判断正确的是 ( )
    A.函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件
    B.命题“存在 ”的否定是“任意 ”
    C.“ ”是“ 函数 是偶函数”的充要条件
    D.命题“在 中，若 ”的逆命题为假命题
    6.一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，
    则该几何体的体积为
    A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D.60 cm3
    7.若数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和为 ( )
    A. B. C. D.
    8. 设 ，则 ( )
    A. B. C. D.
    9.函数 的图象向右平移 个单位后，与函数
    的图象重合，则 的值为 ( )
    A?. B . C. D.
    10.如图所示,两个不共线向量 的夹角为 ， 分别为 的中点,点 在直线 上,
    且 ,则 的最小值为( )
    A. B. C. D.
    11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 .若直线y= 与椭圆 的一个交点M满足 ,则该椭圆的离心率为( )
    A. B. C. D.
    12.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 (　　 )
    A. B. C. D.
    第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
    13.已知曲线 平行，则实数 .
    14.已知向量 .
    15.已知 ，则 .
    16.已知点P(x,y)满足线性约束条件 ，点M(3,1), O为坐标原点, 则 的
    最大值为________.
    三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本小题12分) 已知函数 .
    (Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心; (Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
    外语
    数学 优 良 及格
    优 8 m 9
    良 9 n 11
    及格 8 9 11
    18.(本小题12分)某校高三文科学生参加了9月的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、外语成绩,抽出100名学生的数学、外语成绩统计,其结果如下表:
    (1)若数学成绩优秀率为35%,求 的值;
    (2)在外语成绩为良的学生中,已知 ,求数学成绩
    优比良的人数少的概率.
    19.(本小题12分)
    如图,三棱柱 中, , 四边形
    为菱形, , 为 的中点, 为 的中点.
    (1)证明:平面 平面 ;
    (2) 若 求 到平面 的距离.
    20.(本小题12分)
    已知圆 经过点 , ,并且直线 平分圆 .
    (1)求圆 的标准方程;
    (2)若过点 ,且斜率为 的直线 与圆 有两个不同的交点 .
    ①求实数 的取值范围;②若 ，求 的值.
    21. (本小题12分)
    设函数 ， .
    (1)求函数 在区间 上的值域;
    (2)证明：当a>0时， .
    四.选考题(本小题10分)
    请从下列两道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卡上注明题号。
    22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
    (Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
    (Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
    23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
    已知函数 ，且 的解集为 .
    (Ⅰ)求 的值;
    (Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
    参考答案
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
    1.若集合 , ,则 ( A )
    A. B. C. D.
    2.已知复数 ,若 是实数，则实数 的值为 ( D )
    A. B. C. D.
    3.若定义在 上的函数 满足 且 则 等于( A )
    A. 1 B. C.2 D.
    4. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
    ① ，② ，
    ③ ， ④ ，
    则输出的函数是 (　D 　)
    A. B.
    C. D.
    5.以下判断正确的是 ( C )
    A.函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件
    B.命题“存在 ”的否定是“任意 ”
    C.“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件
    D.命题“在 中，若 ”的逆命题为假命题
    6.一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( B )
    A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D .60 cm3
    7. 若数 列 的通项公式为 ，则数列
    的前 项和为 ( C )
    A. B.
    C. D.
    8. 设 ，则 ( C )
    A. B. C. D.
    9.函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合，则 的值为 ( B )
    A?. B. C. D.
    10.如图所示，两个不共线向量 , 的夹角为 ，
    分别为 与 的中点，点 在直线 上，
    且 ，则 的最小值为( B )
    A. B. C. D.
    11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 .若直线y=
    与椭圆 的一个交点M满足 ,则该椭圆的离心率为( D )
    A. B. C. D.
    12.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 (　B　 )
    A. B. C. D.
    第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
    13.已知曲线 平行，则实数 ___答：2
    14.已知向量 .答：-3
    15.已知 ，则 .答：
    16.已知点P(x,y)满足线性约束条件 ，点M(3,1), O为坐标原点,则 的最大值为__________.答：11
    三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本小题12分)
    已知函数 .
    (Ⅰ)求 的最 小正周期及对称中心;
    (Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
    解：(Ⅰ) …4分
    ∴ 的最小正周期为 ， ……5分
    令 ，则 ，
    ∴ 的对称中心为 ……6分
    (Ⅱ)∵ ∴ ......8分
    ∴ ∴ .......10分
    ∴当 时， 的最小值为 ;当 时， 的最大值为 ……12分
    18.(本小题12分)
    某校高三文科学生参加了9月的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、外语成绩,抽出100名学生的数学、外语成绩统计,其结果如下表:
    外语
    数学 优 良 及格
    优 8 m 9
    良 9 n 11
    及格 8 9 11
    (1)若数学成绩优秀率为35%,求 的值;
    (2)在外语成绩为良的学生中,已知 ,求数学成绩优比良的人数少的概率.
    解：(1)
    又 ，
    (2)由题， 且 ， 满足条件的 有
    共14种，
    记 :”在外语成绩为良的学生中,数学成绩优比良的人数少”,则M包含的基本事件有
    共6种，
    .
    19.(本小题12分)
    如图,三棱柱 中, ,四边形 为菱形,
    , 为 的中点, 为 的中点.
    (1)证明:平面 平面 ;
    (2) 若 求 到平面 的距离.
    解:(1) 四边形 为菱形, ,
    ,
    又 , ,又
    平面 , 平面 平面 .
    (2)设 到平面 的距离为 ，设 ,
    连接 ,则 ,且 ,
    ,
    ,
    ,
    ，即 到平面 的距离为 .
    20.(本小题12分)
    已知圆 经过点 , ,并且直线 平分圆 .
    (1)求圆 的标准方程;
    (2若过点 ,且斜率为 的直线 与圆 有两个不同的交点 .
    ①求实数 的取值范围;
    ②若 ，求 的值.
    解：(1) 中点为 ， , 中垂线的方程为 .
    由 解得圆心 ,
    圆 的标准方程为
    (2)设 ，圆心 到 的距离
    ①由题 即 ，解得
    ②由 得 ，
    设 ，则 ，
    ，
    =
    解得 ，此时 ，
    21. (本小题12分)
    设函数 ， .
    (1)求函数 在区间 上的值域;
    (2)证明：当a>0时， .
    解： ， ，
    在 上， ， 单调递减;在 上， ， 单调递增.
    当 [-1，1]时， ，
    又
    .
    (2) ， ，即 ，
    当 时该方程有唯一零点记为 ，即 ，
    ;
    .
    四.选考题(本小题 10分)
    请从下列二道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卡上注明题号。
    22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
    (Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
    (Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
    解：(1)由 消去参数 得，曲线 的普通方程得 .
    由 得，曲线 的直角坐标方程为 ....5分
    (2)设 ，则点 到曲线 的距离为
    ...........8分
    当 时， 有最小值0，所以 的最小值为0...................10分
    23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
    已知函数 ，且 的解集为 .
    (Ⅰ)求 的值;
    (Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
    解：(Ⅰ)因为 ，
    所以 等价于 ，…2分
    由 有解，得 ，且其解集为 . …4分
    又 的解集为 ，故 .…(5分)
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，又 ，…7分∴ ≥ =9. …9分
    (或展开运用基本不等式)
    ∴ ….10分
    高三上册数学期中试卷及答案精选(三)
    第I卷(选择题 共60分)
    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
    1.若集合 , ,则 ( )
    A. B. C. D.
    2.已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为 ( )
    A. B. C. D.
    3.以下判断正确的是 ( )
    .函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值 点的充要条件
    .命题“ ”的否定是“ ”
    C.“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件
    D. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆命题为假命题
    4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 (　 　)
    A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D.60 cm3
    5.由曲线 ，直线 及坐标轴所围成图形的面积为
    ( )
    A. B. C. D.
    6.设等差数列 的前 项和为 ，若 , , ，则 ( )
    A. B. C. D.
    7.我国古代数 学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 ( )
    A. B. C. D.
    8.设 ，则 ( )
    A. B. C. D.
    9.已知函数 ，则 的图象大致为 ( )
    A B C D
    10.函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的
    图象重合，则 的值为 ( )
    A?. B. C. D.
    11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 . 若直线y= 与椭圆 的一个交点M满足 ，则该椭圆的离心率等于 ( )
    A. B. C. D.
    12.已知定义在R上的函数 满足： 且 ， ，则方程 在区间 上的所有实根之和为 ( )
    A. B . C. D.
    第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20分.
    13.已知向量 .
    14.已知 ，则 .
    15.已知 满足约束条件 若 的最小值为 ,则 .
    16.在 中，内角 的对边分别为 ,已知 , ，
    则 面积的最大值为 .
    三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本小题满分12分)
    已知函数 .
    (Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;
    (Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
    18.(本小题满分12分)
    如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
    的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点，且 ∥平面 .
    (Ⅰ)求证： ;
    (Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
    19.(本小题满分12分)
    随着苹果7手机的 上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
    付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
    频数 35 25
    10
    已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;分2期或3期付款，其利润为1500元;分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
    (Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率;
    (Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的利润，求 的分布列及数学期望 .
    20.(本小题满分12分)
    已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点
    (Ⅰ)证明：抛物线 在点 的切线与 平行;
    (Ⅱ)是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ?若存在，求 的值;若不存在，说明理由.
    21.(本小题满分12分)
    已知函数 .
    (Ⅰ)当 时，求 的单调区间;
    (Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
    (ⅰ)求 的取值范围;
    (ⅱ)设两个极值点分别为 ，证明: .
    请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
    22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
    (Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
    (Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
    23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
    已知函数 ，且 的解集为 .
    (Ⅰ)求 的值;
    (Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
    参考答案
    一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。)
    题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    答案 A D C B C C A C A B D B
    二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
    13. 14. 15. 16.
    三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
    17.(本小题满分12分)
    已知函数 .
    (Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;
    (Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
    解：(Ⅰ) …4分
    ∴ 的最小正周期为 ， ……5分
    令 ，则 ，
    ∴ 的对称中心为 ……6分
    (Ⅱ)∵ ∴ ......8分
    ∴ ∴ .......10分
    ∴当 时， 的最小值为 ;当 时， 的最大值为 ……12分
    18.(本小题满分12分)
    如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
    的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点， 且 ∥平面 .
    (Ⅰ)求证： ;
    (Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
    解：(Ⅰ)连接 交 于 ，连接 .
    ∵ ∥平面 ， 面 ，面 面
    ∴ ∥ ……………2分
    又∵ 为 的中点，
    ∴ 为 中点∴ 为 中点 ……………4分
    ∴ ∴ ……………5分
    (Ⅱ)∵在直三棱柱 中，
    ∴ ……………6分
    以 为坐标原点，以 , 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。
    由(Ⅰ)知 为 中点
    ∴点 坐标分别为
    ， ， ，
    设平面 的法向量
    ∵ 且
    ∴ 取 ∴ ……………8 分
    同理：平面 的法向量 ……………10分
    设二面角 平面角为
    则 ， ∴ ……………12分
    19.(本小题满分12分)
    随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
    付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
    频数 35 25
    10
    已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;分2期或3期付款，其利润为1500元;分4期或5 期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
    (Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率;
    (Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的 利润，求 的分布列及数学期望 .
    解：(Ⅰ)由 ，得 因为 所以 ………3分
    ………6分
    (Ⅱ)设分期付款的分期数为 ，则
    …8分
    的所有可能取值为1000，1500，2000.
    ………10分
    所以 的分布列为
    1000 1500 2000
    P 0.35 0.4 0.25
    ………12分
    20.(本小题满分12分)
    已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点
    (Ⅰ)证明：抛物线 在点 的切线与 平行;
    (Ⅱ)是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ，若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.
    解：(Ⅰ)解法一：设 ， ，把 代入 得 ，
    得 .
    ∵ ， 点的坐标为 .　　　　　………………………2分
    ∵ 　∴ ，
    即抛物线在点 处的切线的斜率为 .　　　　　　　　　　　 ………………………4分
    ∵直线 : 的的斜率为 ，∴ .　　　　　　　 ……………………6分
    解法二：设 ， ，把 代入 得 ，
    得 .
    ∵ ， 点的坐标为 .　　　　　…… ………………2分
    设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，
    将 代入上式得 ，　　　 　　　　………………………4分
    直线 与抛物线 相切， ， ， 即 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………6分
    (Ⅱ)假设存在实数 ，存在实数 使 为直径的圆 经过点 .
    是 的中点， .
    由(Ⅰ)知
    轴， .　 …………………8分
    ∵
    .　　　　 ……………………10分
    ，∴ ，
    故，存在实数 使 为直径的圆 经过点 .　　　　　 ………………12分
    21.(本小题满分12分)
    已知函数
    (Ⅰ)当 时，求 的单调区间;
    (Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
    (ⅰ)求 的取值范围;
    (ⅱ)设两个极值点分别为 ，证明: .
    解：(Ⅰ)当 时， ;
    函数 的定义域为 ，
    当 时， ;当 时， .
    所以， 在 上单调递减;在 上单调递增. ………………4分
    (Ⅱ) (ⅰ)依题意，函数 的定义域为 ，
    所以方程 在 有两个不同根.
    即，方程 在 有两个不同根.
    (解法一)转化为，函数 与函数
    的图像在 上有两个不同交点，如图.
    可见，若令过原点且切于函数 图像的直线斜率为 ，
    只须 . ………………6分
    令切点 ，所以 ，又 ，所以 ，
    解得， ，于是 ，
    所以 . ………………8分
    (解法二)令 ，从而转化为函数 有两个不同零点，
    而 ( )
    若 ，可见 在 上恒成立，所以 在 单调增，
    此时 不可能有两个不同零点. ………………5分
    若 ，在 时， ，在 时， ，
    所以 在 上单调增，在 上单调减，
    从而 ………………6分
    又因为在 时， ，在在 时， ，于是只须：
    ，即 ，所以 . ………………7分
    综上所述， ………………8分
    (ⅱ)由(i)可知 分别是方程 的两个根，
    即 ， ，
    不妨设 ，作差得， ，即 .
    原不等式 等价于
    令 ，则 ， ………………10分
    设 ， ，
    ∴函数 在 上单调递增，
    ∴ ，
    即不等式 成立，
    故所证不等式 成立. ………………12分
    请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
    22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
    (1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
    (2)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
    解：(1)由 消去参数 得，曲线 的普通方程得 .....3分
    由 得，曲线 的直角坐标方程为 ....5分
    (2)设 ，则点 到曲线 的距离为
    ...........8分
    当 时， 有最小值0，所以 的最小值为0 .............10分
    23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
    已知函数 ，且 的解集为 .
    (Ⅰ)求 的值;
    (Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
    解：(Ⅰ)因为 ，
    所以 等价于 ，
    由 有解，得 ，且其解集为 .
    又 的解集为 ，故 ............5分
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，又 ， ∴ ≥ =9.
    (或展开运用基本不等式)
    高三上册数学期中试卷及答案精选(四)
    第Ⅰ卷(共75分)
    一、选择题：本大题共1 5小题，每小题5 分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.
    1.设集合 ， ，则 等于( )
    A. B. C. D.
    2.若复数 的实部为 ，且 ，则复数 的虚部是( )
    A. B. C. D.
    3.若函数 ， 则 ( )
    A. B. C. D.
    4.已知 则 ， 的夹角是( )
    A. B. C. D.
    5.若变量 满足约束条件 的最大值和最小值分别为( )
    A. B. C. D.
    6. 在等比数列 中， ， ，则 ( )
    A. B. C. D.
    7.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的 是(　　)
    A. B. C. D.
    8.已知命题 对于 恒有 成立;命题 奇函数 的图像必过原点，则下列结论正确的是( )
    A. 为真 B. 为真 C. 为真 D. 为假
    9.已知函数 与 ，它们的图像有个交点的横坐标为 ，则 的值为( )
    A. B. C. D.
    10.若偶函数 在 上单调递减， ，则 满足( )
    A. B. C. D.
    11.将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为
    A. B. C. D.
    12.在平行四边形ABCD中， ，点 分别在 边上，且 ，则 =( )
    A. B. C. D.
    13. 已知 , 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
    A.若 , ,则 B.若 , ,则
    C.若 , ,则 D.若 , ,则
    14.点 从点 出发，按逆时针方向沿周长为 的图形运动一周， 两点连线的距离 与点 走过的路程 的函数关系如图，那么点 所走的图形是( )
    15. 已知函数 ，若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是( )
    (A) (B) (C) (D)
    第Ⅱ卷(非选择题，共75分)
    二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
    16.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________
    17.在平面直角坐标系中，角 终边过点 ,
    则 的值为. ________________.
    18.设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 = .
    19.已知正数 ， 满足 ,则 的最小值为____________.
    20.给出下列命题：
    ①“若 ，则 有实根”的逆否命题为真命题;
    ②命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是 ;
    ③ 命题“ ，使得 ”的否定是真命题;
    ④命题p：函数 为偶函数;命题q：函数 在 上为增函数，则 为真命题
    其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
    三、解答题(本大题包括4小题，共75分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤) .
    21. (本小题满分12分)
    已知
    (Ⅰ)求 的最小值及此时 的取值集合;
    (Ⅱ)将 的图象向右平移 个单位后所得图象关于 轴对称，求 的最小值.
    22. (本小题满分12分)
    在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ， .
    (Ⅰ)求 与 ;
    (Ⅱ)设数列 满足 ，求 的前 项和 .
    23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥1 0)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?
    (注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= )
    24. (本小题满分14分)
    设
    (Ⅰ)求 的单调区间和最小值;
    (Ⅱ)讨论 与 的大小关系;
    (Ⅲ)求 的取值范围，使得 < 对任意 >0成立.
    参考答案
    一、 选择题
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    C D C B D A B C D B B C A C D
    二、 填空题
    16. 17. 18. 1 9. 20. ①③
    三、解答题
    21. (Ⅰ)
    ∴ 的最小值为-2，此时 ， ，
    ∴ 的取值集 合为：
    (Ⅱ) 图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为
    其为偶函数，那么图象关于直线 对称，故： ，
    ∴ ，所以正数 的最小值为
    22. 解：(Ⅰ)设 的公差为 ，
    因为 所以
    解得 或 (舍)， .
    故 ， .
    (Ⅱ)因为 ，
    所以 .
    故 .
    23. 解：设楼 房每平方米的平均综合费为f(x)元，则
    令 得
    当 时， ;当 时，
    因此 当 时，f(x)取最小值 ;
    答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.
    24.解(Ⅰ)由题设知 ，
    ∴ 令 0得 =1，
    当 ∈(0，1)时， <0，故(0，1)是 的单调减区间。
    当 ∈(1，+∞)时， >0，故(1，+∞)是 的单调递 增区间，因此， =1是 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为
    (II)
    设 ，则 ，
    当 时， 即 ，
    当 时 ，
    因此， 在 内单调递减，
    当 时，
    即
    当
    (III)由(I)知 的最小值为1，所以，
    ，对任意 ，成立
    本内容由高三上册试卷栏目提供。
    
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更新时间：2025/6/1 5:12:36