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标题

2012中考数学考点一元二次方程根的判别式

内容

    一元二次方程根的判别式的综合应用
    ?
    四川省武胜县中心镇小学初中部　曹建局

    　　一、知识要点：
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    1.? 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)
    的根的判别式Δ=b²-4ac。
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    定理1? ax²+bx+c=0(a
    ≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.
    ?
    　　定理2? ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.
    ?
    　　定理3? ax²+bx+c=0(a≠0)
    中，Δ＜0方程没有实数根.
    ?
    　　2、
    根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    ?
    　　定理4? ax²+bx+c=0(a≠
    0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.
    ?

    　　定理5? ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.
    ?
    　　定理6? ax²+bx+c=0(a≠0)
    中，方程没有实数根Δ＜0.
    ?

    　　注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b²-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.
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    　　二.根的判别式有以下应用：
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    ①? 不解一元二次方程，判断根的情况。
    ?
    例1．? 不解方程，判断下列方程的根的情况：
    ?
    (1)???????? 2x
    ²+3x-4=0　(2)ax²+bx=0(a≠0)
    ????
    　　　解：(1) 2x²+3x-4=0
    ?
    　　　　　　a=2, b=3, c=-4,
    ?
    　　　　　∵Δ=b²-4ac=3²-4×2×(-4)=41>0
    ?
    　　∴方程有两个不相等的实数根。
    ?
    　　　(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
    ?
    　　　　∵Δ=(-b)
    ²-4·a·0=b²,
    ?
    　　　　　∵无论b取任何关数，b²均为非负数，
    ?
    　　　　　∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。
    ?
    　②? 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
    ?
    　　例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x²-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
    ?
    分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；
    ?
    　　解：Δ=(-4)²-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k
    ?
    　　（1）∵方程有两个不相等的实数根，
    ?
    　　　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k
    ＜9
    ?
    　　　（2）∵方程有两个不相等的实数根，
    ?
    　　　　　∴Δ
    =0，即36-4k=0.解得k=9
    ?
    　　（3）∵方程有两个不相等的实数根，
    ?
    　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9
    ?
    ③? 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ?
    　　例3．求证方程(m²+1)x²-2mx+(m²+4)=0没有实数根。
    ?

    　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
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    　　证明：　　Δ=(-2m)²-4(m²+1)(m²+4)
    ?
    　　　=4m²-4(m⁴+5m²+4)
    ?
    　　　=-4m⁴-16m²-16=-4(m⁴+4m²+4)
    ?
    　　　=-4(m²+2)²
    ?

    　　∵不论m取任何实数(m²+2)²>0,
    ?
    　　∴ -4(m²+2)²<0, 即Δ<0.
    ?
    　　∴
    关于x的方程(m²+1)x²-2mx+(m²+4)=0没有实数根。
    ?
    　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
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    　　（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a²,a²+2,(a²+2)², -a
    ², -(a²+2)²的代数式，从而判定正负，非负等情况。
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    ④? 应用根的判别式判断三角形的形状。
    ?

    　　例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x²+m)+b(x²-m)-2

ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
    ?
    　　证明：整理原方程：
    ?

    　　方程c(x²+m)+b(x²-m)- 2

ax =0.
?
　　整理方程得：cx²+cm+bx²-bm-2

ax =0
?
　　(c+b)x²-2

ax +cm-bm=0
    ?
    　　根据题意：
    ?

    　　∵方程有两个相等的实数根，
    ?
    　　∴Δ=(-2

a)²-4(c+b)(cm-bm)=0
    ?
    　　　4ma²-4(c²m-bcm+bcm-b²m)=0
    ?
    　　　ma²-c²m+b²m=0
    ?
    　　∴Δ=m(a²+b²-c²)=0
    ?

    　　又∵ m>0,　　∴a²+b²-c²=0　　∴a²+b²=c²　　又∵a,b,c为ΔABC的三边，　　∴ΔABC为RtΔ。
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    ⑤?? 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
    ?
    例5、（1）若关于a的二次三项式16a²+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（）;
    ?
    　　（2）若关于a的二次三项式ka²+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;

    ?分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ
    =0
    ?
    解：（1）令16a²+ka+1=0
    ?

    　　　　∵方程有两个相等的实数根，
    ?
    ∴Δ=k²-4×16×25=0
    ?
    ∴k=+40或者-40
    ?
    （2）令ka²+4a+15=0
    ?
    　　　　∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0? ∴k=4
    ?
    ⑥? 可以判断抛物线与直线有无公共点
    ?
    例
    6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？
    ?
    解:列方程组

消去y并整理得x²+x-m-1=0
    ?
    ??

，∵抛物线与直线只有一个交点，
?
∴Δ＝0，即　4m+5=0????? ∴

    ????
    ?
    (? 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)
    ?
    ⑦?
    可以判断抛物线与x轴有几个交点
    ?
    分析：抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点? （１）当y=0时，即有ax²+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax²+bx+c=0。可见，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：??
    ? ①? 当

时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x₁，0）（x₂，0）。???
?②当

时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（

）。???
?③当

时，抛物线与x轴没有交点。
    ?

    　　例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
    ?
    ? 　　（１）

　　　（２）

?　　　（３）

    ?
    　　? 解：（１）Δ＝16-12=4>0??? ∴抛物线与x轴有两个交点。
    ?
    ?????　　　（２）Δ＝
    36-36=0????? ∴抛物线与x轴只有一个公共点。
    ?
    ????　　　? （３）Δ＝4-16=-12<0?? ∴抛物线与
    x轴无公共点。
    ?
    　　例8、已知抛物线

    ?
    　　? （１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？
    ?
    　　? （２）当m取什么值时，抛物线和x
    轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。
    ?
    ?　　（３）当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？
    ?

    　　解：令y=0，则

　　　Δ＝4-4(m-1)= -4m+8
    ?
    ?　　 ??(1)∵抛物线与x轴有两个公共点，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0?????? ∴m<2
    ?
    ?　　?? (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点，　∴Δ＝0，即 –4m+8=0??? ∴m=2
    ?
    ???????　　当m=2时，方程可化为

，解得x₁=x₂= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。
    ?
    　　??? (3)∵抛物线与x轴没有公共点，　∴Δ<0，即　－4m+8<0
    ，　∴m>2
    ?
    ?????? ∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。
    ?
    ⑧? 利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.
    ?
    　　分析:抛物线