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标题

2012中考数学考点真题解析

内容

    由一道中考试题引发的思考
    山东惠民皂户李中学康风星耿方新

    　　中考试题一般都源于教材，是教材知识的的延伸，或拓展，现举一例说明。
    ?
    ?原题：（人教版七年级下， 26页第6题（2））
    ?

????
    2007年福州市中考试题：
    ?
    如图2，直线

，连结

，直线

及线段

把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点

落在某个部分时，连结

，构成

，

三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是

角．）
?
（1）当动点

落在第①部分时，求证：

；
?
（2）当动点

落在第②部分时，

是否成立（直接回答成立或不成立）？
    ?
    （
    3）当动点

在第③部分时，全面探究

，

之间的关系，并写出动点

的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
    ?
    ?

    ?
    分析：
    这是一道开放型试题，这类试题已成为各地中考的必考试题。开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识。过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力。本题的第一问结论确定，但是
    P点的具体位置不确定，需要学生大胆假设确定其位置，可以得到多种证明方法；第二问，实际就转化为了前面提到的教材的原型，而要求直接作答难度相对较小，显然不成立；第三问，开放性比较强，需要对结论进行探索，并且需要分类讨论。
    ?
    解：（1）解法一：如图9-1，延长BP交直线AC于点E???????? ??
    ∵ AC∥BD ?, ∴ ∠PEA =∠PBD .?
    ∵
    ∠APB =∠PAE + ∠PEA ,?????
    ∴ ∠APB =∠PAC + ∠PBD .?

    解法二：如图9-2，过点P作FP∥AC , ????????????????
    ∴ ∠PAC =∠APF .??????????????
    ∵ AC∥BD ,?? ∴FP∥BD .?????????? ??
    ∴ ∠FPB =∠PBD .???????????????????
    ?∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC? + ∠PBD .

解法三：如图9-3，

    ∵ AC∥BD ,? ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°?
    即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
    又∠APB +∠PBA +∠
    PAB = 180°,?????
    ∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . ???????????
    （2）不成立.????????????????????????
    （3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
    ∠PBD=∠PAC+∠APB .
    (b)当动点P在射线BA上，
    结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
    或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
    ∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
    (c) 当动点P在射线BA的左侧时，
    结论是
    ∠PAC =∠APB +∠PBD .??????
    选择(a) 证明：
    如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M

    ??? ∵ AC∥BD ,
    ∴ ∠PMC =∠PBD .
    又∵
    ∠PMC =∠PAM +∠APM ,
    ∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .?????
    选择(b) 证明：如图9-5 ，

    ∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
    ∵ AC∥BD ,? ∴
    ∠PBD =∠PAC .??
    ∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
    或∠PAC =∠PBD+∠APB?
    或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.?????????????????????????
    选择(c) 证明：
    如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F

    ∵ AC∥BD ,?????? ∴∠PFA =∠PBD .
    ∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
    ∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .??
    ????
    温馨提示：所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型。开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。而要想做好此类试题我认为应从教材入手，教材中的习题和例题都有一定的探索性，我们只有立足教材充分发挥习题的作用，反复推敲，对习题进行一题多解和一题多变的变式训练，引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识发生和发展的过程，增强学生的应变能力，有利于巩固基础知识，发展创新思维，提高数学素养。

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